应用

带电粒子在匀强磁场中的运动

摘自原子物理与量子力学第二版上册（科学出版社），170-172页。

非对称规范

如果一个量子在均匀磁场中运动，那么如果使用矢势，

$$A = (-By, 0, 0)$$

哈密顿量为，

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}(\hat{p} - eA)^2 \\ = \frac{1}{2\mu}((p_x-eBy)^2 + p_y^2+p_z^2)$$

显然，

$$[H,p_x] = [H,p_z] = [p_x,p_z] = 0$$

我们比较关心能量，因此 $H$ 是测量值的一部分。又因为哈密顿量要求确定的 $y$ ，因此 $p_y$ 不能选，因此用 $H,p_x,p_z$ 。

两个动量对应的本征值是自由平面波，

$$\psi(x,y,z;p_x, p_z, E) = \exp(\frac{i}{\hbar} (p_x x + p_z z))\phi(y;E)$$

我们代入定态薛定谔方程，做变量分离，

$$\frac{1}{2\mu}((p_x+eBy)^2 + p_y^2+p_z^2)\phi(y;E) = E\phi$$

展开 $y$ 方向的动量算子，

$$\frac{1}{2\mu}((p_x+eBy)^2 - \hbar^2D^2 + p_z^2)\phi(y;E) = E\phi$$

转化为标准的微分方程，

$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}D^2\phi + \frac{(eBy+p_x)^2}{2\mu}\phi = (E - \frac{p_z^2}{2\mu})\phi$$

我们可以化简一些，

$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}D^2\phi + \frac{1}{2}\mu\omega^2(y-y_0)^2\phi = (E - \frac{p_z^2}{2\mu})\phi$$

其中，

$$y_0 = -\frac{p_x}{eB} \\ \omega = \frac{eB}{\mu} \\$$

如果你知道的话，这个方程对应了谐振子——不过我们是来用我们学完的理论的。

我们可以做变量代换，

$$\xi = y - y_0$$

则，

$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}D^2\phi + \frac{1}{2}\mu\omega^2\xi^2\phi = (E - \frac{p_z^2}{2\mu})\phi$$

继续化简，

$$D^2\phi - (\frac{\mu\omega\xi}{\hbar})^2\phi = -(\frac{2E\mu}{\hbar^2} - \frac{p_z^2}{\hbar^2})\phi$$

我们想把零阶非线性项消去，设

$$\phi = uH$$

则，

$$uD^2H+2u'DH+(u''-u(\frac{\mu\omega\xi}{\hbar})^2)H = -(\frac{2E\mu}{\hbar^2} - \frac{p_z^2}{\hbar^2})uH$$

我们希望，

$$u''-u(\frac{\mu\omega\xi}{\hbar})^2 = \lambda_u u$$

为了方便，记，

$$\alpha = \frac{\mu\omega}{\hbar}$$

则，

$$u''-u(\alpha \xi)^2 = \lambda_u u$$

或者，

$$u'' = (\lambda_u + (\alpha \xi)^2)u$$

这里用常数变异法，设，

$$u = \exp(-p(\xi))$$ $$p'' + (p')^2 = \lambda_u + (\alpha\xi)^2$$

因此，

$$p = \frac{1}{2} \alpha \xi^2 \\ \lambda_u = \alpha$$

因此，

$$u = \exp(-\frac{1}{2} \alpha \xi^2)$$

tip

这里设成，

$$u = \exp(\frac{1}{2} \alpha \xi^2)$$

得到的是发散的解。我们希望 $uH$ 是收敛的解， $H$ 是Rodrigue 得到的多项式，则 $u$ 必须收敛。

$$D^2u - u(\alpha \xi)^2 \\ = -\alpha u$$

则，

$$uD^2H+2u'DH+(u''-u(\alpha \xi)^2)H = -(\frac{2E\mu}{\hbar^2} - \frac{p_z^2}{\hbar^2})uH$$ $$D^2H-2\alpha \xi DH = -(\frac{2E\mu}{\hbar^2} - \frac{p_z^2}{\hbar^2} - \alpha)H$$

这已经是正确的形式了，因此能量是，

$$\frac{2E\mu - \mu \hbar \omega}{\hbar^2} - \frac{p_z^2}{\hbar^2} = 2n\frac{\mu\hbar\omega}{\hbar^2}$$

即，

$$E = (\frac{1}{2}+n)\hbar\omega+\frac{p_z^2}{2\mu}$$

且，

$$hw = e^{-\int 2\xi \mathrm{d}x} = ?e^{-\xi^2} \\ h = 1$$

因此，

$$\phi = e^{-\frac{\xi^2}{2}} D^n(e^{-\frac{\xi^2}{2}})$$

整个波函数和能量都解出来了。

对称规范

如果设，

$$A = (\frac{-By}{2},\frac{Bx}{2},0)$$

那么哈密顿量会变成，

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}((p_x^2+p_y^2+p_z^2) + \frac{1}{4}(eB)^2(x^2+y^2)-eBL_z)$$

换到柱坐标系，

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}(-\hbar^2\nabla^2 + \frac{1}{4}(eB)^2(x^2+y^2)-eBL_z) \\ = \frac{1}{2\mu}(-\hbar^2\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \frac{\partial}{\partial \rho}) + \frac{1}{4}(eB\rho)^2 + \frac{1}{\rho^2}L_z^2-eBL_z+p_z^2) \\$$

tip

下面看起来多了很多项，多的这些都是前面拉普拉斯算子的柱坐标展开。 $L_z^2$ 也是拉普拉斯算子的一部分。

其中角动量算子，

$$L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}$$

显然我们用表征，

$$H,p_z,L_z$$

显然有，

$$\psi = \exp(i\frac{p_z z}{\hbar} + im\varphi)\chi(\rho)$$

其中，

$$L_z = m\hbar \space \text{where} \space m \in \mathbb{Z}$$

这里的整理太复杂了我就不全写出了，最后的微分方程是，

$$D^2 \chi + \frac{1}{\rho}D\chi + (\frac{2\mu\epsilon}{\hbar^2} - \frac{1}{4}(\frac{eB}{\hbar})^2\rho^2-\frac{m^2}{\rho^2})\chi = 0$$

其中，

$$\epsilon = - (E - \frac{p_z^2}{2\mu} - \frac{meB\hbar}{2\mu})$$

首先去量纲化，用，

$$x = \frac{1}{2} (\frac{eB \rho}{\hbar})^2$$

替代半径，记，

$$x = \frac{1}{2} \gamma^2 \rho^2$$

如此，

tip

下文中， $D$ 代表对 $x$ 求导。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho} \\ = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\rho} D \\ = \gamma^2 \rho D \\ = \gamma \sqrt{2x} D$$ $$(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho})^2 \\ = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho} (\gamma^2 \rho D) \\ = \gamma^2D+\gamma^4\rho^2D^2 \\ = \gamma^2D+2\gamma^2xD^2$$ $$\gamma^2D\chi +2\gamma^2xD^2 \chi + \gamma^2 D\chi + (\frac{2\mu\epsilon}{\hbar^2} - \frac{1}{2}x-\frac{m^2\gamma^2}{2x})\chi = 0$$ $$xD^2 \chi + D\chi + (\frac{\mu\epsilon}{\hbar^2 \gamma^2} - \frac{1}{4\gamma^2}x-\frac{m^2}{4x})\chi = 0$$

同样的思路，我们要把 $r$ 的函数化解掉，只留下常数。

tip

这里的化简其实是有规律的，但不是文章的重点就不解释了。大概而言，

如果 $r$ 里有平方，用类似 $e^{-a\xi^2 / 2}$ 。

如果 $r$ 里有线性项，用类似 $e^{ax}$ 。

如果 $r$ 里有 $1/x$ ，用类似 $x^{a}$ 。

基本思路是，考察奇异行为，例如，上面的式子中，令，

$$x \rightarrow \infty$$

那么方程是，

$$xD^2 \chi - \frac{x}{4\gamma^2}\chi = 0$$

( $\chi \to 0$ ，发散的项只可能是 $xD^2 \chi$ )

因此，

$$\lim_{x\to\infty}\chi = C e^{-\frac{x}{2\gamma}}$$

另一个解是发散的。因此我们会用 $e^{-\frac{x}{2\gamma}}$ 这个因子。

同理，当 $x \to 0$ ，

$$xD^2\chi + D \chi - \frac{m^2}{4x}\chi = 0$$$$D(xD\chi) - \frac{m^2}{4x}\chi = 0$$

则，

$$\lim_{x\to 0} \chi = x^{|m|/2}$$

同样的，还有另一个解，但是另一个解在零附近发散。

综上，我们得到了需要的因子。

下面的因子得出方法见上文，因此取，

$$\chi = x^{ |m|/2}e^{-\frac{x}{2\gamma}} \phi$$

得到，

$$x\phi''+(|m|+1-\frac{x}{\gamma})\phi'=-(\frac{\mu\epsilon}{\hbar^2\gamma^2} - \frac{ |m|+1}{2\gamma})\phi$$

如果你熟悉的话，这是连带拉盖尔方程。但不熟悉的话，一样使用 Rodrigues 的方法，

$$N = \frac{ |m|+1}{2}-\frac{\mu\epsilon}{\hbar^2 \gamma}$$

能量展开的话能级是一样的，只不过其他部分的能量表达式不一样。

$$hw = \exp(\int \frac{ |m|+1}{x} - \frac{1}{\gamma} \mathrm{d}x) \\ = ?x^{|m|+1}e^{-\frac{x}{\gamma}} \\ h = x$$ $$w = x^{|m|}e^{-\frac{x}{\gamma}}$$

因此，

$$\chi(x) = x^{-|m|}e^{\frac{x}{\gamma}}D^N(x^{|m|}e^{-\frac{x}{\gamma}})$$

这样整个问题就完整地解出来了。

tip

这个问题还可以化成贝塞尔方程做，不过贝塞尔函数不是典型的特殊多项式，因此没法用我们的方法。不过贝塞尔函数和拉盖尔函数是可以互相转化的，因此我们这种做法依然正确。

两个方法算下来算量差不多，但如果背不过贝塞尔函数性质的话，本人认为还是这种方法好。